☛ Exemple de calcul particulier de primitive

Propriété  Principe d'identification

Deux fonctions affines sont égales entre elles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur et la même ordonnée à l'origine.
Autrement dit, soit \(f(x)=ax+b\) et \(g(x)=cx+d\) deux fonctions affines définies sur \(\mathbb R\) , où \(a\) , \(b\) , \(c\) et \(d\) sont des réels. Alors on a : \(\text{pour tout réel }x\text{, }f(x)=g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} a=c \\ b=d \end{cases}\) .

Énoncé

Soit  \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\)  par  \(f(x)=(x-2)\text e^x\) .
On admet qu'une primitive \(F\) sur \(\mathbb R\)   est de la forme    \(F(x) = (ax+b)\text e^x\) , où \(a\) et \(b\) sont des réels.
Déterminer l'expression de \(F(x)\) .

Solution

On cherche une primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb R\)  de la forme \(F(x) = (ax+b)\text e^x\) , où \(a\) et \(b\) sont des réels.
On a, pour tout réel \(x\) , \(F'(x)=a\text e^x+(ax+b)\text e^x=(ax+a+b)\text e^x\) .
Pour tout réel \(x\) , \(F'(x)=f(x)\) soit \((ax+a+b)\text e^{x} =(x-2) \text e^x\) .
Or,  pour tout réel \(x\) ,  \(\text e^x\) est non nul. L'équation précédente équivaut à, pour tout \(x\) réel, \(ax+a+b=x-2\) .
D'après le principe d'identification, l'équation équivaut au système \(\begin{cases} a=1 \\ a+b=-2 \\ \end{cases}\) .
Soit \(a=1\) et \(b=-3\) . 
Une primitive de  \(f\) sur \(\mathbb R\)  est donc \(F\) définie pour tout réel  \(x\)  par  \(F(x)=(x-3)\text e^x\) .