☛ Exemple de calcul particulier de primitive

Propriété  Principe d'identification

Deux fonctions affines sont égales entre elles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur et la même ordonnée à l'origine.
Autrement dit, soit $f(x)=ax+b$ et $g(x)=cx+d$ deux fonctions affines définies sur $\mathbb{R}$ , où $a$ , $b$ , $c$ et $d$ sont des réels. Alors on a : $\text{pour tout réel }x\text{, }f(x)=g(x)\iff \{\begin{array}{l}a=c\\ b=d\end{array}$ .

Énoncé

Soit  $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$  par  $f(x)=(x-2){\text{e}}^x$ .
On admet qu'une primitive $F$ sur $\mathbb{R}$   est de la forme    $F(x)=(ax+b){\text{e}}^x$ , où $a$ et $b$ sont des réels.
Déterminer l'expression de $F(x)$ .

Solution

On cherche une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$  de la forme $F(x)=(ax+b){\text{e}}^x$ , où $a$ et $b$ sont des réels.
On a, pour tout réel $x$ , $F^{\prime }(x)=a{\text{e}}^x+(ax+b){\text{e}}^x=(ax+a+b){\text{e}}^x$ .
Pour tout réel $x$ , $F^{\prime }(x)=f(x)$ soit $(ax+a+b){\text{e}}^x=(x-2){\text{e}}^x$ .
Or,  pour tout réel $x$ ,  ${\text{e}}^x$ est non nul. L'équation précédente équivaut à, pour tout $x$ réel, $ax+a+b=x-2$ .
D'après le principe d'identification, l'équation équivaut au système $\{\begin{array}{l}a=1\\ a+b=-2\end{array}$ .
Soit $a=1$ et $b=-3$ . 
Une primitive de  $f$ sur $\mathbb{R}$  est donc $F$ définie pour tout réel  $x$  par  $F(x)=(x-3){\text{e}}^x$ .